Qu'est-ce que la justesse ?

[piano bien tempéré]

J'ouvre ce sujet pour tenter de faire une espèce de synthèse entre tout ce qui a pu être écrit à ce propos dans les différents sujets tels que :
- les délires de l'inharmonicité
- le tempérament Bach
- de l'oreille absolue
- l'accord "cordier" ou la quinte juste

J'emprunte le titre à l'ouvrage de Guy van Esbroeck et Franz Monfort publié dans les années quarante faisant suite à des expériences auprès d'un auditoire de musiciens , élèves et professeurs , de différentes classes supérieures d'écoles de musique et du conservatoire de Liège .

Bon ... en souhaitant que je ne sois pas le seul à en "causer" ...

[egtegt]

Intéressant comme question, mais un peu vague. T'aurais au moins pu donner ton avis

Ben la justesse, c'est ce qui est juste, non ?

En fait, je me demande si ça existe, ce que je vais trouver juste paraîtra peut-être faux à un autre. Je crois que c'est simplement un choix entre plein de paramètres qui ne peuvent pas être justes tous en même temps :

- Si ton piano est accordé pour être juste en DO, alors il est faux dans les autre tonalités
- Si tu accorde tes octaves justes, alors tes quintes sont fausses, et vice-versa.
- Même si tu accordes tes quintes justes (pour te faire plaisir ) alors il te faut encore choisir si tu préfères accorder les notes de base ou les harmoniques
- ...

On peut décider de privilégier un aspect par rapport aux autres, ou chercher un compromis, mais quoi qu'on fasse, on n'est jamais parfaitement juste.

Et le pire la dedans, c'est que si on s'habitue à un de ces compromis, alors on a tendance à trouver tous les autres faux. Mais ça, c'est peut-être un des travers de notre cher tempérament "égal" qui a imposé un système uniforme, ce qui est probablement dommage car appauvrissant.

On peut d'ailleurs se poser la question si ça ne fait pas justement l'intérêt de la musique.

[piano bien tempéré]

Intéressant comme question, mais un peu vague. T'aurais au moins pu donner ton avis

Donner mon avis ? ... hem .. A chaque fois que j'ai donné mon avis sur des questions que j'avais lancées la tendance était que cet avis était pris comme parole d'évangile et personne ou presque ne se risquait à compléter mes dires ou à les réfuter ... Donc j'ai tendance à laisser parler les gens d'abord

Ben la justesse, c'est ce qui est juste, non ?

Sûr !!

En fait, je me demande si ça existe, ce que je vais trouver juste paraîtra peut-être faux à un autre. Je crois que c'est simplement un choix entre plein de paramètres qui ne peuvent pas être justes tous en même temps :
- Si ton piano est accordé pour être juste en DO, alors il est faux dans les autre tonalités
- Si tu accorde tes octaves justes, alors tes quintes sont fausses, et vice-versa.
- Même si tu accordes tes quintes justes (pour te faire plaisir ) alors il te faut encore choisir si tu préfères accorder les notes de base ou les harmoniques
- ...
On peut décider de privilégier un aspect par rapport aux autres, ou chercher un compromis, mais quoi qu'on fasse, on n'est jamais parfaitement juste.
Et le pire la dedans, c'est que si on s'habitue à un de ces compromis, alors on a tendance à trouver tous les autres faux. Mais ça, c'est peut-être un des travers de notre cher tempérament "égal" qui a imposé un système uniforme, ce qui est probablement dommage car appauvrissant.
On peut d'ailleurs se poser la question si ça ne fait pas justement l'intérêt de la musique.

Je pense que les "problêmes" que tu évoques n'en sont pas véritablement . "Compromis" est pour moi un terme totalement inadéquat dans la mesure où invoquer en permanence la résonnance naturelle (aboutissant à cette incroyable imposture qu'est la gamme de Zarlino) ne tiens absolument pas compte de la pratique instrumentale courante , des propriétés de l'oreille et de l'existence de l'inharmonicité ; auxquelles sujétions il faut adjoindre celle de la stabilité moyenne de l'intonation . Stabilité qui est une constante universelle en musique : on la retrouve sur tous les continents et dans toutes les cultures ...

[Basstyra]

J'ai toujours été regardé un peu de travers par mes profs de lettres, parce qu'aux questions voulues évasives qu'ils me donnaient, je répondais parfois en une phrase, répondant strictement à la question en termes de logique et de raisonnement. Le raisonnement par l'absurde étant souvent utile dans ces cas-là.

Ici je retrouve un peu le truc. On parle de tempérament, de compromis, etc... avant même d'avoir défini la justesse à son plus bas niveau. Cela dit, la question est de toute façon réthorique. Et donne sa propre réponse, en un sens.

La justesse est une notion que l'on peut décrire très simplement en termes physiques, et définir à l'aide de 2-3 notions assez simples de traitement du signal. Si on parle d'un signal périodique on en aura une 1ere approche, simple. En parlant d'un signal moins cohérent, dont le spectre n'est pas totalement harmonique, ca va se corser, mais tant qu'on arrive à discerner des harmoniques (des fréquences remarquables dans le spectre), on s'en sortira. Au-delà, la notion aura de toute façon perdu son sens. A noter que vu qu'on va considérer le piano, on devra se coltiner des modèles assez corsé dans les transitoires si on veut aller au bout du modèle scientifique.

La justesse c'est le fait pour deux ondes d'avoir leurs fréquences égales. Ca n'est guère la peine de se casser la tête, tout part de là. CQFD

Et ce sont les limites de cette définition, première, et indispensable, qui ensuite conduiront à des notions comme le tempérament ou les compromis. Mais il ne faut pas mettre la charrue avant les boeufs

[piano bien tempéré]

Ici je retrouve un peu le truc. On parle de tempérament, de compromis, etc... avant même d'avoir défini la justesse à son plus bas niveau.

Donne-nous une définition basse alors ! ...

La justesse est une notion que l'on peut décrire très simplement en termes physiques

Ah si seulement celà l'était ! ...

Définir à l'aide de 2-3 notions assez simples de traitement du signal. Si on parle d'un signal périodique on en aura une 1ere approche, simple. En parlant d'un signal moins cohérent, dont le spectre n'est pas totalement harmonique, ca va se corser, mais tant qu'on arrive à discerner des harmoniques (des fréquences remarquables dans le spectre), on s'en sortira. Au-delà, la notion aura de toute façon perdu son sens. A noter que vu qu'on va considérer le piano, on devra se coltiner des modèles assez corsé dans les transitoires si on veut aller au bout du modèle scientifique.

Ah ... mais c'est là que celà devient intéressant !

La justesse c'est le fait pour deux ondes d'avoir leurs fréquences égales. Ca n'est guère la peine de se casser la tête, tout part de là. CQFD

Va raconter ça à tes profs de lettres ... mais pas à l'accordeur professionnel que je suis !

Et ce sont les limites de cette définition, première, et indispensable, qui ensuite conduiront à des notions comme le tempérament ou les compromis. Mais il ne faut pas mettre la charrue avant les boeufs

Précaution élémentaire qui va de soi

[Basstyra]

Va raconter ça à tes profs de lettres ... mais pas à l'accordeur professionnel que je suis !

Pourtant tout est là. Si on se donne une référence, par ex un LA à 440Hz, et bien un autre LA sera "juste" si il est à 440 Hz. Sinon il sera faux. Si tu n'es déjà pas d'accord avec ça, on ne risque pas d'aller très loin

Evidemment, ceci est insuffisant pour couvrir toute la problématique. Ca n'empeche que c'est indispensable, et que c'est la 1ere notion sur laquelle il faudra bien se mettre d'accord si on veut arriver à quelque chose.

Si on reste sur la notion de référence (le LA 440 Hz, ou autre fréquence, ou autre note), il faut ensuite parler de tempérament. Si on parle de tempérament égal, ca reste simple : un do est 3 demi-tons au dessus, donc aura une fréquence de 440 * 2^(3/12) Hz = 523,25 Hz. Ici arrive déjà un soucis : le calcul n'est pas exact... Il faudra donc s'entendre sur un arrondi qui satisfasse tout le monde. Ceci dit, vu que l'oreille est bien moins précise que les appareils de mesure de fréquence actuels, ca ne pose pas de réel soucis : il suffit que cette fréquence du do soit comprise dans l'interval de précision de l'oreille. Ceci dépend évidemment de l'auditeur.

Si on reste sur la notion de 2 notes jouées ensembles ca reste encore plus simple : si je décrête qu'une onde à 4789 Hz est un Fa (pourquoi pas...), alors un autre Fa sera "juste" si il vaut 4789 Hz (toujours dans les mêmes conditions de précision).

On peut aller très largement plus loin mais j'attend de voir si on est d'accord là-dessus

(a noter qu'on risque apparemment de jouer au jeu de la maïeutique maus ca tombe bien, j'aime ça... )

[piano bien tempéré]

Mais celà est absolument évident mais terriblement réducteur , la justesse ne se limitant pas à l'identité de deux sons

[Basstyra]

Et oui, c'est évident. Est-ce pour autant une raison pour ne pas le citer ? Je dirais bien au contraire, c'est parce que c'est évident qu'il faut le rappeller. Parce que parler d'inharmonicité sans parler de ce que sont des harmoniques, ce qu'est une fondamentale, et les relations entre elles, ca n'aurait pas de sens.

La réponse que tu as faites à mon premier message en est je pense un symptôme flagrant : tu regardes déjà la fin du raisonnement (nul doute que tu as déjà une idée très précise de tout ce sujet), à en oublier le début. Ca n'est pas une critique c'est juste une constatation sur un détour de la pensée, qui consiste à vouloir arriver quelque part, plutot que de vouloir partir de quelque part pour arriver là où ca nous mènera. Si tu sais déjà où tu vas, inutile de poser la question, je pense que nous donner ton opinion sera plus clair

Enfin, si, la justesse se "limite" à l'identité de deux fréquences. En un sens. C'est juste qu'il va parfois falloir chercher ces fréquences un peu ailleurs que dans la fondamentale, et que parfois on ne les trouvera pas. Mais la notion même de justesse est forcément liée à cette égalité, on n'y coupe pas. Si besoin, essaye de me définir une justesse sans parler d'égalité de fréquences pour t'en convaincre

[piano bien tempéré]

Bien sûr que j'ai des réponses , mais si j'ai lancé ce fil ce n'est pas pour faire un étalage de mes connaissances mais plutôt pour amener les uns et les autres à se poser des questions , tant il est vrai que tout ce qu'on peut trouver sur la toile et ailleurs concernant la justesse musicale est pour le moins convenu et les "à-peu-près" répétés jusqu'à l'ivresse ...

[Basstyra]

Maïeutique donc, on est bien d'accord

Pour moi justement, pour être cohérent avec ta volonté de clarification, prendre les choses à la toute base est absolument indispensable. C'est le fait de partir de n'importe où, dans n'importe quelle direction, qui fait qu'à force, on arrive à dire tout et son contraire.

Après, cette "méthode" n'est pas forcément la seule. C'est juste une méthode qui a fait ses preuves, c'est rigoureux, scientifique. On est sûr d'arriver à un résultat avec ça. C'est déjà pas mal

[piano bien tempéré]

Très bien . On attend de te lire

[Basstyra]

Le sujet m'interesse et je me demande ce qu'aura à en dire un accordeur, je ne manquerais sans doute pas de revenir. Là c'est un peu tard...

[piano bien tempéré]

Le sujet m'interesse et je me demande ce qu'aura à en dire un accordeur

Plein de choses ! ...

[egtegt]

Tu as dit pas mal de choses discutables Basstyra :

La justesse n'est pas seulement le fait que deux fréquences soient identiques : un LA à 880 hz est juste par rapport à un LA à 440 Hz. De même un MI à 660 Hz est juste par rapport à ce LA

Maintenant le SI# douze quintes au dessus du DO est à 3/2^12 au dessus, soit 129,74

Par contre le DO 7 octaves au dessus de ce même DO est à 2^7 au dessus soit 128

Les deux sont justes mais mon problème est que sur mon piano, j'ai une seule touche pour les deux notes. Quelle fréquence je prends ?

Ensuite, on est dans le monde réel. Or il se trouve que si j'accorde mon LA à 440 Hz exactement, il aura une première harmonique légérement différente de 880 Hz, probablement dans les les 885 Hz. Et si j'accorde cet harmonique à 880 Hz, mon LA sera plutôt à 438 Hz.

Le seul problème, c'est que si je joue le LA 440 et le LA 880 en même temps, ce que j'entendrai surtout, ce sont les battements entre la note de base de mon LA 880 et la première harmonique de mon LA 440.

Alors, c'est toujours aussi simple que ça la justesse ?

[Basstyra]

Bah si tu me laissait finir (si on pouvait finir réellement...), aussi... J'ai pris le début, j'ai bien précisé que ca n'était pas exhaustif.

La notion d'harmoniques d'une onde périodique nous donne l'égalité entre deux fréquences multiples, 440 => 880 par ex. Ca reste de l'égalité de fréquence : la 1eme harmonique d'un La 440 est à 880, une autre note à 880 sera donc juste en rapport.

A noter que par rapport à un La à 440 Hz, le mi juste (dans le tempérament égal) fait 659.255 Hz, pas 660. 440*(2^(7/12)). Tu m'accuses de dire des choses inexactes, ce qui est faux : j'ai juste précisé la base, sans développer encore le reste. Toi en revanche tu écris ici une authentique erreur. A noter également qu'ici aussi on parle d'égalité, puisqu'on utilise une formule.

Ta remarque concernant les si# et do est justement ce qui conduit aux choix sur les tempéraments. C'est là en effet qu'interviennent des choses plus drôles...

Tu te trompes encore sur la suite : une note accordée à 440 Hz donnera une 1ere harmonique à 880 Hz. Sur une onde périodique ou pseudo-périodique, il est difficile de prendre en défaut le développement en séries de Fourier. En tout cas pour ma part je ne l'ai jamais observé, et c'est un peu mon métier aussi. PBT s'étant permis de poser son discours sur un "je suis accordeur professionnel", je me permettrais donc également de poser le mien sur un "je suis ingénieur en électronique appliquée à la musique". Je sais donc un peu ce que je raconte... Et j'ai à ma disposition tout les jours du matos pour faire ce genre de mesures.

Je t'avouerais que l'aplomb avec lequel tu sors ça me laisse le doute. Je vérifierais donc sans doute. En attendant si tu as des mesures à fournir pour étayer tes propos, ca sera avec plaisir.

A moins que tu n'évoques le changement de fréquence dans le temps (genre une note qui commence à 440Hz et qui se termine plutot vers 439), mais c'est alors un autre soucis. Qu'il faudra expliciter avec d'autres outils. Là aussi on va vers des joyeusetés, mais inutile d'en parler avant d'avoir clarifier le reste.

Les phénomènes de battement sont une autre chose, qui découle encore une fois totalement de la comparaison de 2 fréquences (donc leur égalité ou pas). Et on montrera d'ailleurs facilement qu'ils arrivent TRES vite, dès qu'on s'écarte un tout petit peu de l'égalité. D'où pas mal de soucis.

Tu m'as l'air, comme PBT, bien pressé d'arriver là où tu le souhaites. Encore une fois, à quoi bon ? Comme tu le fais si justement remarquer, il va y avoir des écueils. Il faut donc s'assurer que la base est solide avant de filer tête baissée.

Après, si votre but est juste de dire "ok, la justesse, c'est compliquée", autant le dire de suite, et on se fait pas chier avec de la rigueur. je vous répond "Ouais, vous avez trop raison, c'est trop complexe en fait, waoh...", et on passe à autre chose. Mais je crois que tous ici nous avons, malgré tout, envie de quelque chose d'un peu plus concrêt, donc un peu plus précise et rigoureux, non ?

[piano bien tempéré]

Tu m'as l'air, comme PBT, bien pressé d'arriver là où tu le souhaites.

Je ne suis pas particulièrement pressé Que ce sujet suive un plan précis je ne peux être bien évidemment que "pour" ... mais j'ai peur qu'il dérive vers des considérations purement mathématiques faisant abstraction , comme souvent , des particularismes de l'appareil auditif humain et de certaines constantes musicales telles que la fixité moyenne de l'intonation vérifiée sur tous les continents et dans toutes les cultures musicales ... Sans parler de l'inharmonicité des instruments à cordes frappées et grattées . Déjà affirmer qu'un intervalle musical quelconque est "juste" parce qu'il correspond à un rapport de fréquence précis , est insuffisant et même "dangereux" ...

Guy van Esbroeck écrivait ceci :

"Une gamme , l'histoire nous le montre abondamment , n'est qu'une échelle de sons fixés selon un système extérieur à nous-mêmes (la technique de l'accordage des instruments) et l'habitude d'entendre ces sons-là à l'exclusion des autres , devient une éducation de l'oreille , laquelle finit par trouver du charme à ces sons-là et à ceux-là seulement "
Il poursuit : "Ce n'est pas l'oreille qui a dicté ses lois aux instruments à sons fixes. Au contraire , la technique de l'accordage des instruments a conditionné l'éducation de l'oreille musicale"
Ceci n'est pas sans conséquence sur l'état de justesse d'un intervalle par rapport à sa valeur purement mathématique extraite de la résonnance naturelle ...

[egtegt]

Excuse moi Basstyra, tu as raison, j'ai peut-être un peu sauté les étapes. Mais toi tu as tendance à freiner un peu trop

D'accord, la justesse est au départ une question d'égalité.

Ensuite il va falloir que tu m'explique pourquoi si je joue une note sans harmoniques à 660 Hz avec une note à 440 Hz, ça me paraîtra plus juste que si la première note est à 670 Hz.

J'insiste, la quinte est la seconde harmonique, donc un rapport de 3/2 si on ramène à l'octave en dessous, Ton calcul à 2^7/12 correspond au tempérament égal actuel, tu sautes les étapes à ton tour tu divises ton intervalle de 7 octaves en 12 quintes tout simplement. C'est le choix actuel mais c'est juste un choix parmi tant d'autres et il est approximatif, ou plutôt tempéré.

On ne peut pas parler de justesse si on prend comme postulat que la justesse est le tempérament égal avec octaves justes (d'ailleurs le tempérament cordier est égal lui aussi, bien que basé sur les quintes). Les deux seuls postulats indiscutables sont qu'une octave juste a un rapport de deux et une quinte un rapport de 3/2. Tout le reste en découle et l'inégalité entre 3/2^12 et 2^7 fait qu'on est obligé de tempérer.

D'ailleurs si tu veux absolument une définition Mathématiques de la justesse, je pense que celle ci est meilleure que la tienne basée sur l'égalité : toutes les notes dans un rapport de 2 ou de 3/2, ou un multiple de ces rapports, sont juste entre elles. Même si je pense que cette définition est largement insuffisante.

Ensuite, quand je parle d'harmonique du LA différente de 880 Hz, il s'agit tout simplement de l'inharmonicité. J'ai même fait la mesure sur mon piano, qui pourtant est un demi-queue donc avec pas trop d'inharmonicité, Il n'y a clairement pas un rapport de 2 entre la note de base et la première harmonique. C'est dû au fait que la corde n'est pas parfaite, elle a une rigidité et ses points d'appui ne sont justement pas parfaitement ponctuels.

Je ne veux pas nécessairement sauter tout de suite à la conclusion que la justesse c'est compliqué, mais je veux clairement éviter les réponses trop simplistes.

Car il y a une justesse "Mathématique" mais il y a surtout une justesse ressentie. Et c'est celle-ci qui m'intéresse car c'est celle qui importe. Les mathématiques peuvent évidemment aider à l'expliquer, mais clairement ne peuvent pas suffire.

Mais avant tout, je voudrais progresser dans ma connaissance de ce phénomène car il m'intéresse au plus haut point.

[piano bien tempéré]

Car il y a une justesse "Mathématique" mais il y a surtout une justesse ressentie. Et c'est celle-ci qui m'intéresse car c'est celle qui importe. Les mathématiques peuvent évidemment aider à l'expliquer, mais clairement ne peuvent pas suffire.

C'est effectivement dans cette voie-là qu'il faut chercher

[Basstyra]

Il y a une profonde incompréhension en tout cas. Peut-être ai-je mal expliqué mon point de vue, peut-être n'avez-vous pas l'habitude de suivre un raisonnement scientifique au sens fort du terme, peut-être un peu des deux ou carrément autre chose, je ne sais pas.

Mais ce que vous dites en dernier donne quand même une indication : vous pensez que les outils mathématiques (et j'insiste sur ce terme, "les outils mathématiques", et non pas "les mathématiques") ne seront pas à même d'expliquer ce que vous entendez, ressentez, supposez, imaginez ou avez constaté. Partant de là, forcément, pourquoi seriez-vous intéressés par le développement de ces outils, et donc notamment par la base même, cette simple égalité de fréquence dont je parle, juste en tant qu'intro ? Si vous ne pensez pas que des outils mathématiques pourrons expliquer tout ça, il est logique que vous les "rejetiez" dès le début. Encore une fois, ça n'est pas une critique au sens péjoratif du terme, c'est un constat : j'essaye de comprendre ce qui se passe ici, pourquoi on ne se comprend pas.

Mais ça me mène à d'autres questions. Comment alors comptez-vous arriver à un résultat ? Qu'attendez-vous exactement de cette discussion ?

Ma vision des choses est la suivante : je n'aime pas parler dans le vide, pour rien, sur rien, sans but. Si il y a une question, c'est qu'il y a une réponse, même si la réponse est "on n'en sait rien !". Le tout étant de savoir qu'on ne sait pas, et non pas de ne pas savoir... c'est à dire de démontrer qu'on ne le sait pas, plutôt que de rester dans l'ignorance. Si la discussion présente doit conduire à un "en effet, il reste des phénomènes non expliqués", et bien soit, mais si on n'a pas mis en oeuvre tout ce qu'on a a notre disposition avant d'en arriver là, ca ne sert à rien. Il y a une différence entre vouloir rester ignorant (refuser de réfléchir, ou renoncer à comprendre) et admettre son ignorance (avoir tout tenté pour comprendre et avoir atteint les limites de ses connaissances ou de sa démarche).

Par conséquent, toute question me fait d'abord me poser tranquillement d'autres questions. Principalement, "quel est le but que nous voulons atteindre ?", "comment l'atteindre ?", "avec quels outils ?", "avec quelle méthode ?", etc...

Alors je vous pose la question : quel est votre but ici ? Et comment pensez-vous l'atteindre ?

[egtegt]

Pour information, je suis tout à fait familier d'une démarche scientifique au sens fort du terme et ça ne me gène pas le moins du monde, au contraire.

Par contre, si tu veux avoir une démarche réellement scientifique, tu ne peux pas poser des postulats comme tu l'as fait sans les justifier et surtout en faisant fi de tout ce qui est important :

Si on reste sur la notion de référence (le LA 440 Hz, ou autre fréquence, ou autre note), il faut ensuite parler de tempérament.

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Si on parle de tempérament égal, ca reste simple : un do est 3 demi-tons au dessus, donc aura une fréquence de 440 * 2^(3/12) Hz = 523,25 Hz

. Ici arrive déjà un soucis : le calcul n'est pas exact... Il faudra donc s'entendre sur un arrondi qui satisfasse tout le monde. Ceci dit, vu que l'oreille est bien moins précise que les appareils de mesure de fréquence actuels, ca ne pose pas de réel soucis : il suffit que cette fréquence du do soit comprise dans l'interval de précision de l'oreille. Ceci dépend évidemment de l'auditeur.

Si on reste sur la notion de 2 notes jouées ensembles ca reste encore plus simple : si je décrête qu'une onde à 4789 Hz est un Fa (pourquoi pas...), alors un autre Fa sera "juste" si il vaut 4789 Hz (toujours dans les mêmes conditions de précision).

Nous sommes d'accord sur certains points : si j'ai un LA à 440 Hz sans harmoniques, alors un autre LA sans harmoniques sera juste s'il est également à 440 Hz, la précision de l'oreille humaine sur ce point étant de l'ordre d'1/2 Hz grâce aux battements. Mais énoncer ça me donne l'impression de commencer une discussion sur la mécanique quantique par "Sommes nous bien d'accord que 2x2 fait 4 ?"

Et ensuite, tu saute des dizaines d'étapes sans sourciller :

Si on parle de tempérament égal, ca reste simple : un do est 3 demi-tons au dessus, donc aura une fréquence de 440 * 2^(3/12) Hz = 523,25 Hz

Premièrement tu parles de "tempérament égal" sans expliquer de quoi il s'agit. Tu pars du postulat que l'octave ne peut avoir qu'un rapport de deux et est divisée en 12 demi tons égaux, ce qui à mon sens est justement le coeur de la question. Impossible de parler de justesse sans parler au préalable de tempérament, non pas pour se mettre d'accord sur un tempérament mais pour être d'accord sur les implications du choix d'un tempérament ou d'un autre. C'est d'ailleurs le point qui m'intéresse le plus car je ne connais pas bien ces implications. Par exemple, on peut tout à fait bâtir un tempérament sur le rapport exact de la quinte juste à 3/2, ce qui donnera une fréquence de 440*1,5^(3/7) = 523,50 Hz et surtout un LA à l'octave à 440*1,5^(12/7)=881,70 Hz.

Ensuite, tu pars visiblement du principe qu'une note se réduit à sa fréquence de base et que ses harmoniques sont en progression géométrique parfaite par rapport à cette fréquence, ce qui est faux au moins sur un piano.

Enfin, tu semble choqué que nous disions que les outils mathématiques ne sont pas à même d'expliquer entièrement le phénomène de justesse. Or il me parait évident qu'on ne peut pas exclure le facteur culturel et humain dans la justesse. Et à ma connaissance, ces facteurs ne sont pas explicables mathématiquement. Entre autres, l'habitude à un tempérament va automatiquement renforcer le sentiment que ce tempérament est plus juste que les autres.

Maintenant, si tu veux mes buts dans cette discussion, ils sont les suivants :

- Dialoguer sur un sujet qui m'intéresse,
- Progresser sur ma connaissance du sujet,
- Apporter aux autres mes connaissances sur le sujet,

Tout ça passe par une explication de mes connaissances sur le sujet (qui entre autres me permettent de progresser moi même car un bon moyen d'apprendre est d'expliquer ce qu'on pense avoir compris) Et par une lecture critique de ce que les autres ont à dire sur le sujet.

Plus précisément, j'aimerais comprendre ce qui a amené à choisir le tempérament actuel et si ces choix étaient parfaitement justifiés. En tout cas, de plus en plus de gens remettent en cause ce choix et on est en droit de se demander qui a raison. Et ce que j'aimerais également, c'est être capable de discuter avec mon accordeur de l'accord de mon piano en allant un peu au delà de : "pouvez vous l'accorder s'il vous plait, il me paraît faux"