Pourquoi 12 notes au piano ?

[leLama]

On m'a proposé d'écrire un petit article de vulgarisation. J'essaie d'y expliquer pourquoi y'a 12 notes en musique dans la plupart des traditions musicales.
C'est un premier jet, que je vais finaliser prochainement. Toutes vos remarques sont bienvenues. Le public visé est cultivé, mais pas forcément expert en sciences dures. J'essaie de trouver un équilibre. pas trop creux ni trop technique. Vous me direz...

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Pourquoi douze notes au piano ?

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Les doigts du pianiste se promènent sur le clavier dans un mouvement
chaloupé. Ses mains dansent, s'éloignent et
se rejoignent. Les auditeurs se
laissent envelopper par les sons du piano.

Douze notes. Sept
pour les touches blanches: Do-Ré-Mi-Fa-Sol-La-Si,
et cinq pour les touches noires : Do#,Re#,Fa#, Sol#,La#.


Pourquoi douze notes et pas quinze, ou neuf, au fait ? C'est ainsi
dans la plupart des pays du monde. Coïncidence ? Transmission
culturelle ? Seul choix possible consonnant pour notre oreille ?

Notre tympan oscille sous l'effet des mouvements de l'air.
Ces oscillations sont en général chaotiques. Quand
la pluie bat les fenêtres, quand un restaurant bruisse
de ses conversations, notre tympan se déforme comme
la voile d'un bateau sous les caprices désordonnés du vent.
Parfois en revanche, les oscillations se font régulières.
La 49ème touche d'un piano
déclanche un mouvement d'air qui fait vibrer notre tympan exactement 440 fois par
seconde autour de sa position d'équilibre.
C'est le "La" du diapason, de fréquence 440 Hertzs. Notre cerveau perçoit
la régularité du battement, l'ordre et la cohérence dans
les données qui lui parviennent.
Le bruit devient alors
une note de musique à nos oreilles.

Un couple entonne un karaoké. La voie grave du chanteur émet un son à 220Herts.
Sa compagne chante simultanément à 440 Hertzs. La chanteuse fait vibrer notre tympan
exactement deux fois plus vite que son compagnon. Les musiciens
disent qu'elle chante un octave plus aigu que son
partenaire de duo. Une sensation de consonance et d'harmonie s'en dégage.

Le piano est conçu pour permettre une consonnance similaire.
Un appui simultané sur deux touches bien choisies émet un accord
d'octave harmonieux correspondant à des fréquences doubles,
tel deux chanteurs en duo. En pratique, les touches 1,13,25,37,49,61,73,85 sont obtenues
a partir du "La" du diapason en ajoutant et retirant des octaves.
On obtient toujours une note "La", mais dans differentes
tessitures.

Comment sont choisies les fréquences intermédiaires des autres touches ?

Le karaoké se poursuit avec un autre duo.
Un probème pratique se pose. Le chanteur émet une note à la fréquence de
220Hzs, trop grave pour sa partenaire. Mais elle ne peut pas
monter d'un octave à 440Hzs, chanter une fréquence aussi
aigüe lui est impossible. Instinctivement,
elle produit alors une note à 330Hzs,
une fois et demie la fréquence de son compagnon, on dit une quinte
plus aigüe. Duo assez plaisant, ma foi, agréable à écouter.

On s'attendrait à retrouver cette fréquence de 330Hzs
sur le piano, afin que le piano puisse reproduire l'agréable
duo en appuyant simultanément
sur les deux touches de fréquence 220Hzs et 330Hzs. AÍe ! La 44ème
touche du piano est un Mi, qui
émet une fréquence de 329.63Hzs, plutôt que 330Hzs. Le piano est moins
consonnant que le duo. C'est quoi ce bazar ? Pourquoi
le piano est il moins bien accordé que la chanteuse ? D'ou vient
cette fréquence de 329.63Hzs ?

Sur le piano, on a decoupé l'octave qui
s'etale entre les touches
37 et 49 en 12 intervalles égaux. Entre une
touche et la suivante, on mulitiplie la fréquence par environ 1,059,
de sorte qu'en répétant cette multiplication 12 fois, on monte
exactement d'un octave entre les touches 37 et 49, passant de
220 a 440Herts. Au milieu, se trouve la fréquence de 329,63Hzs.

La situation est en
quelque sorte similaire à celle d'un vacancier
qui part de la premiere ville ( touche 37) vers sa destination finale ( touche 49) en
faisant douze étapes identiques (multiplication de la fréquence par 1,059 à chaque
étape). Après la septieme étape,
il arrive touche 44 (frequence 329,63). C'est proche de la ville étape
qu'il souhaitait rejoindre ( la quinte, 330 Hzs), mais ce n'est
pas exactement la ville étape.
Ce n'est pas surprenant; si on découpe un voyage en étapes de
longueur égale, les villes à visiter se retrouvent en général
sur la route en milieu de journée,
plutôt que dans la ville ou nous dormons le soir. La
quinte de la chanteuse (330Hzs) est coincée entre la touche Mi du
piano (329.63Hzs)
et la touche Fa (349,23Hzs).

Notre vacancier a le choix entre deux
options. Soit accepter de ne pas passer exactement par la ville
étape. C'est a dire musicalement accepter de jouer avec des quintes
qui ne soient pas justes. C'est le choix contemporain usuel.
Soit faire des étapes de longeur differente
pour passer exactement par la ville étape. Musicalement, le
temparément inégal employé autrefois,
avait certains intervalles de quintes justes, mais des intervalles inégaux entre les
différentes touches du clavier.

Le musicien insatisfait va évidemment essayer d'améliorer
la justesse de son piano, et s'approcher au plus près de la justesse de la
chanteuse. L'idée naturelle est de changer le nombre d'etapes
du parcours. Si une ville qu'on cherche a approcher est loin des
points étapes quand on fait le chemin en douze jours, le
parcours du chemin en 11 ou 13 jours permet peut être
d'approcher davantage la ville intermédiaire ?
Le problème mathématique sous-jacent est de déterminer le
meilleur découpage possible de l'octave (combien d'étapes ?)
pour passer au plus près de la quinte juste
de la chanteuse en faisant des intervalles égaux.

En étudiant le problème mathématique,
on peut d'abord montrer qu'il n'est pas
possible de passer exactement par la quinte,
que quel que soit le nombre d'étapes choisi.
Il existe des nombres,
dit irrationnels, qui ne sont
pas des fractions, connus des
grecs environ 5 siècles avant notre ère. Le nombre
irrationnel le plus connu est pi. Pour le lecteur savant,
ne pas pouvoir réaliser la quinte comme une ville étape
lors du découpage de notre octave
est une reformulation de l'irrationalité
de log(3/2)/log(2).

Il existe une théorie, dite des fractions continues, qui donne les "bonnes"
approximations d'un nombre irrationnel. Par exemple pi=3.1415927...
n'est pas une fraction mais peut s'approximer par 22/7=3.142857...
ou par 355/113=3.1415929... Pour notre probleme musical,
log(3/2)/log(2)=0.584962.. peut s'approximer
en 3/5=0.6, en 7/12=0.58333..., en 31/53=0.584905...
ou avec des dénominateurs plus grands.

Concretement, il nous faut choisir une approximation.
- si on choisissait 3/5, on couperait l'octave en 5 et la quinte
approchée s'obtiendrait en
se déplacant de 3 touches sur le piano. Wikipedia dit que certaines
gammes précolombiennes utilisaient ce système,
- si on choisit 7/12 comme c'est le cas de nos jours, on divise
l'octave en 12 et la quinte approchée s'obtient en se déplaçant de 7 touches,
blanches et noires incluses,
- si on choisissait 31/53, la quinte serait plus juste, mais un piano
avec 53 notes par octaves serait particulièrement difficile a jouer !
- si on choisissait une autre approximation, soit la quinte serait
plus fausse, soit il y aurait beacoup plus de 12 touches par octave.

En résumé, les octaves et les quintes sont des donnéees assez universelles
liées au chant et aux consonances naturelles pour nos oreilles.
Le découpage de l'octave en 12 intervalles est
mathématiquement optimal au sens ou il permet un tempérament
égal avec une quinte la plus juste possible, dans un format compact,
c'est à dire avec un nombre de touches sur le piano pas trop grand et
humainement gérable.

Une blague potache dit que Dieu a inventé les équations de la physique
en se pliant aux mathématiques. La musique
subit elle aussi le joug des mathématiques ? Les musiciens et
les chanteurs font ils des mathématiques sans le savoir ?

[Jacques Béziat]

On peut en effet supposer que les octaves ont été perçues très tôt chez l'être humain comme une première correspondance, à l'intérieur desquelles les intervalles ont été créés, dont certainement la quinte.
Les raisons sont à la fois physiques (acoustiques), et physiologiques, phénomènes connus scientifiquement.

La subdivision en notes varie selon les cultures, les époques, et les modes.
La gamme majeure moderne occidentale est récente, bien que connue de la Grèce antique (qui ne l'utilisait pas).
L'utilisation de la gamme mineure occidentale est antérieure à la majeure, la gamme mineure mélodique (avec la 6te majeure et la sensible) est encore plus récente (fin du baroque, J.S. Bach qui l'utilise beaucoup).
La gamme tempérée (cf le Clavier bien Tempéré) a permis de jouer toutes les tonalités.
Et la subdivision de la gamme en 12 demi-tons n'est pas présente partout dans le monde.

[floyer]

[séquence nostalgie]

Cela me fait penser à un article que j’avais écrit sur feu Humeur-piano... heureusement sauvegardé mais sans les illustrations sonores et visuelles.

https://web.archive.org/web/20171219094 ... de-musique

J’ai préféré éviter l’approche des fractions continues (approximations diophantiennes), mais cela revient au même. Pour faire simple je n’ai évoqué que la construction pythagoricienne avec la quinte, mais je suppose que la tierce majeure et son rapport de fréquence 5/4 a aidé à définir la gamme que l’on connaît.

[Jacques Béziat]

mais je suppose que la tierce majeure et son rapport de fréquence 5/4 a aidé à définir la gamme que l’on connaît.

Pourtant la gamme mineure (celle que nous connaissons en Occident depuis le Moyen-Âge ou la Renaissance) est antérieure à la majeure.
Je suppose que cette dernière est simplement arrivée petit à petit grâce à des compositeurs qui ont décidé d'innover en partant de la tierce mineure de la gamme mineure (par exemple de la à ut), et/ou en terminant certains morceaux sur cette tierce.
Je dis bien je suppose, n'ayant pas de connaissances particulières en musicologie.

[leLama]

Il semble que le plus vieux texte de musique connu au monde soit une gamme majeure : https://www.maxisciences.com/musique/le ... 33033.html

Pour l'influence de la tierce dans la construction des gammes, tres difficiles a dire tant la musique est ancienne, tres anterieure a toute forme d'ecriture. Certains bouquins sur le jazz disent que la consonnance de la tierce est apparue tres tard, et que l'harmonie dans la musique commence avec des voies doublees a l'octave ou a la quinte, et que la notion d'accord comme on l'entend aujourd'hui avec une tierce arrive plus tard, puis continue ensuite de s'enrichir avec les septiemes et les neuviemes. Mais d'un autre coté, il parait qu'on trouve des mélodies tres anciennes écrites avec beaucoup de tierces.

Un bouquin d'acces libre sur l'histoire de la musique (mais en angliche, sorry...): http://www.gutenberg.org/files/20293/20 ... .htm#FIG_1

[leLama]

Si on veut comprendre pourquoi les gammes majeures et mineures sont speciales parmi les gammes possibles, ou aussi expliquer ce truc bizarre incomprehensible que la sensible appelle la resolution, y'a des explications de maths aussi. Ce qui est assez marrant, c'est que cette approche permet de retrouver quelques autres gammes utilisées historiquement, ce qui laisse penser qu'il y a un fond de vérité dans l'approche, et que ce n'est pas seulement une reconstruction intellectualisante (meme si bien sur, toutes ces gammes ont surtout ete trouvees experimentalement).

http://www.ens-lyon.fr/asso/groupe-semi ... ?id=mbroue

[Jacques Béziat]

Les Grecs avaient recueilli toutes les gammes que nous connaissons et utilisons actuellement, en classique comme en jazz. Mais ils ne les utilisaient pas de leur temps, la gamme majeure notamment ne les intéressait pas.

Et oui, bien sûr, l'utilisation des accords est venue avec la polyphonie, les premiers embryons d'accords sont apparues avec les octaves et les quintes, les tierces ne sont apparues que plus tard, avec l'accord parfait composé de trois sons : fondamentale, tierce (mineure au début), et quinte (toujours juste).

[floyer]

Merci LeMama pour l’exposé de l’ENS Lyon... c’est un angle original, déroutant car probablement pas historique (on n’a pas commencé par 12 notes d’emblée je suppose), mais intéressant.

L’une des interventions du public fait l’amalgame entre le comma (pythagoricien), 3^12/2^19... et le comma de Holder qui en cherche une approximation en fraction d’octave (1/53). On trouve alors souvent 1 ton égale 9 commas (4 pour le demiton diatonique, 5 pour le chromatique) alors que c’est plutôt 8,7 commas. Et les demi-ton diatoniques et chromatiques ne sont (avec l’accord pythagoricien), pas des multiples d’un comma.

Intéressante, Jacques, la remarque sur la tierce mineure qui serait arrivée la première (des deux tierces). Mais je note qu’avec le tempérament mésotonique, on cherchait une tierce majeure pure, ce qui indique que l’on s’est beaucoup intéressé à cet intervalle.

[Caligula]

Je vous ai envoyé un message privé pour qqs rectifications.

[Gruppetto]

Vous parlez d'emblée des gammes. Est-ce qu'on n'aurait pas intérêt à revenir d'abord aux modes, je pensais que c'était eux qui avaient ensuite défini les gammes, ce qui pourrait expliquer la préexistence de la gamme mineure car dans mes vieux souvenirs, les modes les plus usités ont une tierce mineure (éolien, dorien...).

[leLama]

Je vous ai envoyé un message privé pour qqs rectifications.

Merci beaucoup Caligula pour les corrections. Je vais les intégrer

[cricri42]

Bonjour,
Deux choses : d'abord le clavier ( ou devrais-je dire les gammes ?) n'a pas toujours été formé avec 12 sons distants du même intervalle; ce n'est que depuis Bach qu'on utiise le tempérament égal Avant les instruments avaient du mal à s'accorder car en passant d'une tonalité à une autre, les degrés ne se superposaient pas Par exemple do et mi n'étaient pas forcément consonant. Bon, c'est difficile à expliquer et je laisse à d'aut'res le soin de le faire
Ensuite, il ya la théorie des harmoniques (on doit pouvoir trouver ce sujet sur le net): si l'on divise une corde tendue en 2, et que l'on pince une moitié de la corde, on obtiendra l'octave. Si l'on divise ensuite cette moitié selon une fraction précise (j'ai oublié laquelle, on obtiendra la quinte, et ainsi de suite. Autrement dit, les sons ou "harmoniques que l'on obtiendra seront succesivement 1-8 5 (je crois) - 3 ou plutôt 10, etc et on aura ainsi tous les degrés de la gamme majeure.
Mais ceci est théorique car seule une oreille exercée peut entendre les 2 premiers harmoniques : la fondamentale : 1 et l'octave 8.
Il faut savoir aussi qu'au Moyen-âge, la tierce était considérée come un intervalle dissonant , alors que la quinte, non

[floyer]

On savait faire des do-mi consonant avant Bach. Le tempérament mésotonique (1523) optimisait même la justesse de ces intervalles (au détriment même des quintes) et Bach n’est né qu’en 1685.

Ce qui a changé à l’époque de Bach, n’est pas le tempérament égal, mais au contraire des tempéraments dits inégaux que l’on appelle en anglais ou en allemand bien tempéré (well tempered/Wooltemperierti), comme l’œuvre du même nom (Le Clavier Bien Tempéré). Toutes les quintes n’étaient pas égales, mais étaient toutes praticables : pas de quinte du loup comme en accord pythagoricien ou mésotonique. Ainsi, on peut jouer dans toutes les tonalités. Mais chaque tonalité avait sa couleur.

Le tempérament égal n’est arrivé qu’après.

Pour une frise des tempéraments historique : http://rollingball.com/TemperamentsFrames.htm chaque tempérament donne les écarts des quintes et tierces par rapport aux intervalles pures, si bien qu’un écart trop important montre une dissonance.

Cette frise met le tempérament égal qu’au XXe siècle, Wikipedia indique plutôt un début en fin de période baroque et une généralisation plus tard, donc après Bach.

On note Well : tempérament inégaux (well tempered), Meantone : mésotonique

[leLama]

Ensuite, il ya la théorie des harmoniques
[...]
Autrement dit, les sons ou "harmoniques que l'on obtiendra seront succesivement 1-8 5 (je crois) - 3 ou plutôt 10, etc et on aura ainsi tous les degrés de la gamme majeure.

Bonjour Cricri42,
En fait c'est le contraire Les harmoniques ne sont _jamais_ des notes de la gamme majeure, sauf les harmoniques correspondant aux octaves.

Voici une petite explication. Une note du clavier emet une frequence f= 440.2^(x/12) ou x est le nombre de demi-tons entre cette note et le "La" du diapason. Les harmoniques de cette note sont les frequences 440.2^(x/12).y ou y est un nombre entier. Si tu veux que cette harmonique coincide avec la frequence d'une autre note ayant z demi-tons d'ecart avec le diapason, tu dois resoudre l'equation 440.2^(x/12).y =440.2^(z/12), donc y^12=2^(z-x). Ces deux nombre entiers sont egaux, donc y est une puissance de 2, comme le terme de droite. Le fait que y soit une puissance de 2 dit exactement que l'harmonique qui coincide avec une autre note est obtenue par decalage d'octaves.

Mais ceci est théorique car seule une oreille exercée peut entendre les 2 premiers harmoniques : la fondamentale : 1 et l'octave 8.

En fait, cela depend du registre sur le clavier. Par exemple dans le tres grave, la fondamentale et les premieres harmoniques sont inaudibles. On peut enregister son piano et faire afficher les harmoniques et leur puissances avec un ordi. On trouve une suite de bosses. Au milieu du clavier, ca se passe gentiment comme on pense : les bosses sont de plus en plus petites, signifiant que la fondamentale est la plus sonore et les harmoniques suivantes plus petites.

Pour l'aigu, il n'y a quasiment qu'une seule bosse : la fondamentale, les harmoniques suivantes sont presque inaudibles.

Pour le grave, les bosses correspondant a la fondamentale et aux premieres harmoniques sont petites. De memoire, il y a au moins la fondamentale et 5 ou 6 harmoniques qui sont inaudibles. Ce sont seulement les harmoniques superieures qui ont un contenu energetiques suffisant pour etre audible.

Comment l'oreille trouve la frequence des notes graves alors que la fondamentale est inexistante ? C'est un mystere de la psychoacoustique. C'est un peu comme si l'oreille etait capable de faire un pgcd approché. Si l'oreille entend les frequences 5f,6f,7f, le cerveau "devine" qu'il y a le facteur f qui est un diviseur commun et il decrete que la frequence est f. Bizarre, mais c'est comme ca !!

[floyer]

Oui, effectivement, la table d’harmonie agit comme filtre passe-haut vers 60Hz (en fonction du piano... un petit piano filtrera plus)

Ansi, un La-2 à 27,5Hz aura sa fondamentale étouffée, sa deuxième harmonique (55Hz) étouffée aussi, mais commencera à avoir sa troisième harmonique (82,5Hz) émise correctement.

Et effectivement, l’oreille va deviner les harmoniques manquantes d’après les différences de fréquences.

-

Pour revenir aux harmoniques que l’on perçoit, l’accordeur qui joue une quinte va écouter des battements entre les partiels des deux notes. Ces partiels sont les harmoniques de rang 2 et 3 des notes jouées. Pour une tierce majeure, ce seront les harmoniques de rang 4 et 5 qui émettront des battements (et seront donc écoutées). Cela va donc au delà de l’harmonique de l’octave.

[cricri42]

Ensuite, il ya la théorie des harmoniques
[...]
Autrement dit, les sons ou "harmoniques que l'on obtiendra seront succesivement 1-8 5 (je crois) - 3 ou plutôt 10, etc et on aura ainsi tous les degrés de la gamme majeure.

Bonjour Cricri42,
En fait c'est le contraire Les harmoniques ne sont _jamais_ des notes de la gamme majeure, sauf les harmoniques correspondant aux octaves.

Voici une petite explication. Une note du clavier emet une frequence f= 440.2^(x/12) ou x est le nombre de demi-tons entre cette note et le "La" du diapason. Les harmoniques de cette note sont les frequences 440.2^(x/12).y ou y est un nombre entier. Si tu veux que cette harmonique coincide avec la frequence d'une autre note ayant z demi-tons d'ecart avec le diapason, tu dois resoudre l'equation 440.2^(x/12).y =440.2^(z/12), donc y^12=2^(z-x). Ces deux nombre entiers sont egaux, donc y est une puissance de 2, comme le terme de droite. Le fait que y soit une puissance de 2 dit exactement que l'harmonique qui coincide avec une autre note est obtenue par decalage d'octaves.

Mais ceci est théorique car seule une oreille exercée peut entendre les 2 premiers harmoniques : la fondamentale : 1 et l'octave 8.

En fait, cela depend du registre sur le clavier. Par exemple dans le tres grave, la fondamentale et les premieres harmoniques sont inaudibles. On peut enregister son piano et faire afficher les harmoniques et leur puissances avec un ordi. On trouve une suite de bosses. Au milieu du clavier, ca se passe gentiment comme on pense : les bosses sont de plus en plus petites, signifiant que la fondamentale est la plus sonore et les harmoniques suivantes plus petites.

Pour l'aigu, il n'y a quasiment qu'une seule bosse : la fondamentale, les harmoniques suivantes sont presque inaudibles.
Bonjour,
là, je suis un peu perdu : d'abord je ne connais pas la psychoacostique (dans mes études, on a eu des bases d'acoustique,sans plus (et c'est loin).Ensuite, ça searit sympa de montrer par un schéma, l'intensité des harmoniques selon leur position du grave à l'aigu. En fait il est l'heure de ma sieste et j'ai du mal à me concentre mais tout cel est intéressant et il faudra que je le relise.
Au fait, en arlant de schéma, je n"'ai toujousr pas trouvé comment insérer des images car avec l'icône ça ne marche pas : on mem demande une URL

Pour le grave, les bosses correspondant a la fondamentale et aux premieres harmoniques sont petites. De memoire, il y a au moins la fondamentale et 5 ou 6 harmoniques qui sont inaudibles. Ce sont seulement les harmoniques superieures qui ont un contenu energetiques suffisant pour etre audible.

Comment l'oreille trouve la frequence des notes graves alors que la fondamentale est inexistante ? C'est un mystere de la psychoacoustique. C'est un peu comme si l'oreille etait capable de faire un pgcd approché. Si l'oreille entend les frequences 5f,6f,7f, le cerveau "devine" qu'il y a le facteur f qui est un diviseur commun et il decrete que la frequence est f. Bizarre, mais c'est comme ca !!

[fef]

Bonjour, pourriez-vous m'expliquer d'ou sort le nombre log(3/2)/log(2), je n'arrive pas a comprendre. Merci d'avance !
PS : Je pose cette question bien longtemps après la publication de ce poste mais j'espère que vous pourrez me répondre !

[floyer]

Pourquoi log(3/2)/log(2) ?

En fait, on cherche à comparer la quinte (rapport de fréquence 3/2) à l'octave (rapport de fréquence 2).

Comme les échelles de fréquences sont perçues de façon logarithmique (deux quintes font 3/2 x 3/2), on cherche à trouver

3/2 ^ n = 2 ^ m

où ^ désigne la puissance. Cela signifie n quintes valent m octaves.

Pour résoudre, on prend le logarithme qui transforme les puissances en produits :

log(3/2) x n = log(2) x m

soit encore

m/n = log(3/2) / log(2)

Le ratio m/n représente la fraction d'octave équivalente à une quinte. Soit à peut près 7/12

[fef]

Merci de votre réponse rapide et précise, vous me sauvez mon bac !!

[floyer]

Attention, log(3/2)/log(2) est irrationnel. Ma formulation semble indiquer que m et n existent sous forme d'entiers. Il n'en n'est rien.